CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ẢNH


Các phép biến đổi ảnh là cách tiếp cận thứ hai được áp dụng trong tín hiệu số nói chung và trong xử lý ảnh nói riêng. Phép biến đổi (transform) là thuật ngữ dùng để chỉ việc chuyển đổi sự biểu diễn của một đối tượng từ không gian này sang một không gian khác. Ví dụ phép biến đổi Fourier, Z, Laplace

I. Phép biến đổi Unitar (Unitary Transform)

1. Ma trận trực giao và ma trận Unitar

· Cho A là một ma trận vuông

· A trực giao khi: hay

Trong đó A-1 là ma trận đảo của A.

AT là ma trận chuyển vị của A.

· Ma trận A được gọi là ma trận Unitar nếu:

A-1= A*T hay AA*T= I

A* là ma trận liên hợp của A

Các phần tử của A* được xác định như sau với aik= x + jy thì a*ik = x – jy (dạng số phức tổng quát).

Nhận xét :

Nếu các phần tử của ma trận A có giá trị là số thực thì

A trực giao Û A unitar

Ví dụ 1

Xét xem ma trận A sau đây có phải là ma trận Unitar không

Giải :

Ta có ,

A trực giao Þ A Unitar

Ví dụ 2

Kiểm tra tính Unitar của ma trận sau

Nhận xét

Tuy nhiên

Vậy A không Unitar

Ví dụ 3

Xét ma trận

Tuy nhiên ta lại có:

Þ A là ma trận Unitar

dụ 4:

Xét tính Unitar của ma trận sau:

2 Phép biến đổi Unitar một chiều

hay

Cho vector = S(n) = (S(0), S(1), S(2),…S(N-1) ) và Anxn là ma trận Unitar. Ta có ảnh của qua phép biến đổi Unitar thuận.

Ví dụ:

S(n)= (S1, S2, S3)T , ma trận unitar
Ta có

Phép biến đổi Unitar ngược:

Suy ra:

Hay ta có công thức:

k

n

Trong đó:

Kết luận:

với hình ảnh cơ sở là cột k của ma trân A*T, ta tách thành các hình ảnh cơ sở thông qua các hệ số của

Các hinh ảnh cơ sở

hệ số phân tích

3 Phép biến đổi Unitar 2 chiều

Cho ma trận Unitar Anxn , với ảnh S(m, n) ta có công thức biến đổi Unitar của ảnh S như sau:

Cặp biến đổi Unitar 2 chiều:

V = ASAT (Xác định hệ số phân tích)

S= A*TVA* (Xác định ảnh cơ sở)

Hay S= , với : là hình ảnh cơ sở

Trong đó : là các cột thứ k và l của A*T

Ví dụ: Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định các ảnh cơ sở của S qua phép biến đổi

Giải:

* Xác định hệ cơ sở:

V= ASAT =

A*T =

* Xác định các

Ta có :

,

,

* Như vậy S có thể biểu diễn qua các hình ảnh cơ sở như sau:

Hình ảnh cơ sở

Ví dụ 2:

Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định V và

Giải:

* V= ASAT =

* A*T=

* Tính với

II. Biến đổi Fourier

1. Biến đổi Fourier 1 chiều

Cho f(x) là hàm liên tục với biến thực x. Biến đổi Fourier của f(x) :

Á = F(u) =

Trong đó j=

Cho F(u), f(x) có thể nhận được bằng cách biến đổi Fourier ngược (IFT):

Á-1 = f(x) =

Công thức trên là cặp biến đổi Fourier tồn tại nếu f(x) liên tục và có thể tích phân được, và F(u) cũng có thể tích phân được. Trong thực tế các điều kiện trên luôn thoả mãn.

Với f(x) là hàm thực, biến đổi Fourier của hàm thực nói chung là số phức:

F(u) = R(u) + j I(u)

Trong đó R(u) và I(u) là thành phần thực và thành phần ảo của F(u). Ta thường biểu diễn dưới dạng hàm mũ

F(u)=

Trong đó:

được gọi là phổ biên độ Fourier của f(x), và gọi là góc pha.

– Biến u thường được gọi là biến tần số (phần biểu diễn hàm mũ) =, theo công thức Euler:

= cos(2pux) – jsin(2pux)

Vậy ta có thể nói rằng, biến đổi Fourier tạo ra một cách biểu diễn khác của tín hiệu dưới dạng tổng có trọng số các hàm sin và cosin (2 hàm trực giao)

A

f(x)

X

x

Ví dụ:

Ta có hàm f(x) như sau:

F(u) = = = =

=

Đó là một hàm phức, phổ Fourier:

2. Biến đổi Fourier 2 chiều

Biến đổi Fourier có thể mở rộng cho hàm f(x, y) với 2 biến. Nếu f(x, y) là hàm liên tục và tích phân được và F(u, v) cũng tích phân được, thì cặp biến đổi Fourier 2 chiều sẽ là : Á

Á-1

Trong đó u, v là biến tần số.

Cũng như biến đổi Fourier 1 chiều, ta có phổ biên độ, phổ pha, cho trường hợp 2 chiều:

Ví dụ: xác định biến đổi Fourier của hàm trên hình sau:

A

X

Y

F(x,y)

x

y

F(u, v)=

=

Phổ công suất của nó:

@ Các tính chất của biến đổi Fourier

3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Giả thiết cho hàm liên tục f(x), được rời rạc hoá thành chuổi:

Trong đó: N- số mẫu, Dx bước rời rạc ( chu kỳ lấy mẫu). Ta dùng biến x vừa là biến liên tục vừa là biến rời rạc.

Ta định nghĩa : f(x)= f(x0 + xDx)

x: – là các giá trị rời rạc 0, 1, 2,…, N-1.

Chuỗi là các mẫu đều bất kì được lấy mẫu đều từ một hàm liên tục. Cặp biến đổi Fourier cho các hàm lấy mẫu:

F(u)= với u= 0, 1, 2, …N-1

f(x) = với x= 0, 1, 2, …N-1

Trường hợp DFT 2 chiều:

F(u, v) =

f(x,y)=

với u=, v= x=, y=

Nếu M=N (lấy mẫu vuông ):

Ta có:

với x, y=0, 1, 2,…N-1

Theo webng.com

Advertisements

One comment on “CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ẢNH

  1. thày cho em hỏi trong biến đổi DFT rời rạc thì f(x, y) có thể là những thuộc tính nào của bức ảnh (ví dụ như mức xám)?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s